妻のことを「嫁」という。 主人が最近になって、妻である私のことを「うちの嫁が…」と言うようになりました。 たぶん、会社の若い人の影響だと思うのですが

旦那は関西人なので（？）昔から「嫁」ですね。
特に違和感や嫌悪感を覚えたりはしたことないです。
正確には「夫」「妻」だと思うけど、嫁でも話の流れでどっちか解るし周りもそんな感じだから、公の場でちゃんと言えたら私は別に何でもいいかな。
でも、主さんのようにパートナーが不快に思うなら「妻」がよいと思いますね。

また、会話だけでなくこの掲示板等のように文章で書く際に、自分の妻と息子の嫁と両方登場する場合、どちらも「嫁」としてしまうと書き手が下手だと読み手が混乱したりするのでわかり易く区別出来るような書き方をする必要性はあると思います。