お茶だし失敗しました。 事務員です。お茶出しをしますが、お客様が話しかけてくださることがあります。 しかしお茶を出しながら笑顔で話を聞いたりするスキルがあり

そういう時は控えめ会釈して微笑しながら黙ってお茶を出した方が好感度が上がります。
（ちょっと昭和っぽいですが、控えめで場をわきまえている聡明な人、という印象。）
相手だってお愛想で（気を遣って）お茶出してくれてる人に話しかけてるだけ。
長々と話がしたいわけではないんです。
逆に「話しかけられたから」と応じるのなら、お客様相手に手短にに明るく返すというスキルが必要になります。
話が盛り上がりすぎない程度で引き下がらないといけないし。
これはかなりハードルが高いですよ。

会釈程度で静かにお茶を出して引き下がるのが無難な対応だと思います。