転職に際しての現職への引き継ぎについて

皆さんありがとうございます。

妻の体調が悪く今日も病院に詰めてますが、会社からの来い来いコール、、、。どこの病院かなどということを根掘り葉掘り聞かれたり、出社を断れば日本の病院は完全看護だから大丈夫だろうなどと言われます。

腹立たしすぎて胃に穴が空きそう。
別の人間に電話を掛け
「こんなこと言われても困る、あまりしつこいなら出る所に出ます」
と牽制したところ、
「お前がコチラの指示通り動かなかったのが悪い、出るところに出たらお前が負けるぞ」「お前は俺が○日に来いと言っていたのに来なかった（もちろん有給期間、妻の看護のため）」
「うちの仕事を放り出して面接を受けに行くなど有り得ない」
といったことを言われたのです。

向こうの言い分としては私にしかできない業務をやっていない事に問題があると言うのですが本当にそうなのですか？私にしかできない業務が終わっていなければ私が負ける可能性もあるのでしょうか？ご意見を頂きたく思います。