人それぞれ考え方があると思いますが、意見を聞かせてください。 私には付き合って5ヵ月ほどになる彼氏がいます。そこそこ良い家柄でマナーなどは小さい頃から教え

どっちの言い分も分かるなあと思います。
まず、妹が乗り出してきたってことは、あなたの彼は結婚を前提に付き合いを考えてるんですね。
だから、きっと裏で親が動いていると思います。
親の動き（実際に言うかどうかは別にして、どんな人か見てきてほしいという思い）によって、
妹さんはあなたを見定めに来たと。

それから、兄が人間関係が不得意である、というのもご家族が認識していると。
妹さんをあなたの間を取り持つでもない、ちょっとコミュ障（とまでは言わないですが）気味の彼。
そんな彼の女性を見る目を心配して、妹が派遣されたと。

妹は当然、自分の役割を分かっているから、あなたを揺らしてくるわけです。
スマホをいじってたのも、それ、わざとカマかけてるんでしょ。
あなたの出方をうかがいたくて。

あなたにとっても、たくさんのことが見えて良かったと思いますよ。
まず、彼にとって大切なのは、
家族＞＞＞＞＞＞＞あなた
というのが見えました。（今の段階ではね）
これを覆さないと、結婚したら地獄が待ってますね。

後、彼の家族は、お相手の調査をする、ということが分かりました。
きっとこの後、関係が進めば、興信所か何かを付けて、何から何まで調査されることでしょう。
（良い家柄の人は、必ずされるので、特に怪しいことではないです。
　中流家庭でも、される方も多いですし）

それから、彼の家族は、あなたをずいぶん下に見ている、ということも分かりましたね。

あなたも十分お分かりのように、箸の持ち方がよくない＝母親から娘としての、女性としてのちゃんとした躾を受けてない、
となります。
彼の家は上流、あなたは中流だとしましょう。
この格差を、果たして彼の家族、いえ、一族は受け入れるかどうか。

ピンとこないかも知れませんが、こだわる人は相当こだわる部分ですから、
十分に気を付けた方がいいと思います。
もし結婚となったら、絶対に彼の実家から遠くに住むべきですね。