飼い犬を理由に仕事を休むのに勤務変更を希望しました。 頼める人が1人しかいないのでいつもその人に頼んでいました。 「用事があるなら大丈夫です」とも言っている

私も飼い猫がちょっと体調不良なだけで大泣きしてしまうくらい溺愛しているので気持ちはよくわかります。
でもペットの体調不良などでの休みは理解できない人も多数いるのです。動物が好きな人ですら厳しい人もいますからね。

沢山休んでしまうなら今正社員ならパートやバイト下げてもらったり、理解のあるところに転職とか考えたほうがいいですよ。
病院に預けるのもお金がかかるから自分で看るってのも痛いほどわかりますけど、それはお金がないorお金を使いたくない主さんの勝手で働いている同僚には関係がないのです。

例えば極端な話、同僚がゴ○ブリを飼っていて様子がおかしいから人手が足りない時に休みたいって言ってきたら「はぁ？！」ってなるの気持ちと一緒なんですよ。同僚は大切にしていて家族だと思っているので、今の主さんと同じ気持ちになります。

（※ゴ○ブリと犬猫と比べるのは申し訳ないけど、嫌いなもの代表として書かせていただきました。）

だから周りに理解してもらおう、理解してくれないから酷いってのは自分の勝手なのでそこは考えたほうがいいですよ。