母子家庭です。DVによる避難→離婚です。（母、小学生1人）パートしながら生活保護受けています。（パート代／月15~7万）なんとかやれそうなので抜けたいです。

いくつか問題がありますが、一つずつ解決しましょう。
生活保護は今のままで。
上のお子さんもすぐに卒業、就職は難しそうですし、あなたが仕事を休む必要もありそうですから。
お子さんは二十歳になると自立しなければならないのですが、精神的に不安定で通院していると生活保護の対象になるかも知れないので、まずは気持ちが元に戻ることを最優先してください。
高校の転入は難しく、三年生の今の時期だと尚更だから、来春に私立か通信に三年生で入れたらラッキーくらいでいいでしょう。
戸籍謄本に関しては、司法書士や弁護士なら業務上取得できますが、お金がかかるので、女性センターか児童相談所に聞いてみてはいかがですか。