現在、副業をしようか悩んでいます。 出来れば短期間で12月とかだけでも働けたらと思っているのですが、出来れば会社にばれたくありません。 現在私は市民税を

途中入社の住民税は、次の年度分（令和3年6月以降）まで普通徴収で問題ありません。
ただ、一般的に令和3年6月分からは特別徴収（給与から天引き）です。

12月のアルバイト分と、それ以外の今年の収入を合わせて103万円以上になるなら、おっしゃるとおり確定申告をしなければなりません。

アルバイトが会社にわかってしまうかどうかについては、会社がわかろうとすれば、何となくはわかるでしょうね。
来年の住民税を会社が特別徴収する際、あなたの前年（令和2年）の所得額がわかるからです。

ただ、あなたの令和2年の所得は複数あるわけで、会社がその内訳を計算しない限りはわからないし、通常そんなヒマなことしません。

もしわかったとしても、せいぜい令和2年にアルバイトか何かで所得があったんだな、程度ですよ。
当然アルバイト先がどこなのかもわかりません。
そして、それが転職前の所得か転職後の所得かもわからないです。

だから、バレるバレないはあまり気にしなくていいと思いますよ。