病児保育士として働くにあたり病気を貰わない方法ありますか？ また根本的に今こんなご時世なのもあり移したくない家族がいる場合は働かない方がよい場所でしょうか？

それを気にするなら、保育士はできません。
実務経験はあるんですか？
保育所は(病児保育に限らず)いろんな家庭のお子さんが来ますから、いつ、誰が、病気の原因を持ってくるかわかりません。
それは覚悟でなければ、仕事になりませんよ。

予防は当然しますよ。手洗い、うがい、予防接種ができるときはします(もちろん個人で)。
移ってしまう保育士もいますし、常に病気の原因と接しているせいか抗体が出来るのか？多くの保育士は感染しませけどね。
そこは個人差ですから、主さんが感染しないとは言えません。

そこを割り切れないなら、やめた方がいいんじゃないですか？