賃貸に住んで20年、初めて町内のゴミ当番になっていました。 ・やり方を知らないのに誰も教えてくれないものなのか ・賃貸でもやらないといけないのか ・何

そのごみ捨て場の管理がどこになっているかだから、賃貸がどうとか関係ありませんよ。

賃貸の場合、共益費等にごみ捨て場の管理費等が含まれていて管理会社がそのお金で頼んでいるだけです。
町内会費を払っている場合、町内会でそのごみ捨ての管理費を役場経由等で払っています。安くするためにごみ捨て場の清掃は町内会で持ち回りでやったりしています。地区によっては、プラスαのお金を払って当番を免除したりしている場所もありますが、完全に地区によって金額もやり方もまちまちです。