図書館について質問です。何年も前に図書館を利用したのですがその図書館から本の弁償をしてほしいといきなり通知が来ました。図書館を利用したのは覚えていますがいつ、何

ちょっと不可解な通知ですね。

破損させた場合は誰が破損させたか分かるのか？という質問についてですが貸出しなら返却時に破損が無いか簡易にチェックしてから棚に戻すのでまあ分かります。

通常、貸出し中や館内での読書時に破損が生じてしまった場合は(貸出し中なら返却BOXではなく)カウンターに自己申告してお詫びと共にどうするべきか相談するのが利用マナーだと思いますが中には気付いてなかったり申告しない人もいますから。

と、いう訳で破損が生じていた場合は普通すみやかに貸りた人に声を掛けます。既に退館してた場合は電話などで数日以内には連絡をするのが一般的で何年も経過してというのは不自然です。

質問者さんはそもそも破損させた心当たりもないという事ですし...

本当に正規の図書館からの連絡なのか、仮にかたりではなく正規の図書館からだとしてもどの本についてなのか、弁償を要求している対象物はどういう状態なのか、なぜ今なのかきちんと確認する必要がありますね。

どのような連絡方法で通知が来たのかは分かりませんが通知に書いてある連絡先に折り返して連絡するのではなく、図書館名から連絡先を自分で探して連絡し確認する事をお勧めします(直接足を運んで上記の確認をされるのが一番だと思いますが)。

賠償義務の有無については分かりかねますが詐欺の可能性もある以上まずは事実確認をされた方がいいですね。