職場の同じ部署の女性に、挨拶をしても無視をされます。 声をかけて無視されたことの録音はパワハラとして証拠になりますでしょうか？

ハラスメントは基本的に弁護士案件です。
会社は世間体のために「相談室」とか設置してるだけで当てにならないと思ってください。

なので証拠を残すためには「○○さん無視しないでください」とかこちらの呼びかけに対して相手がどんな対応をしたのか？固有名詞までしっかりと録音する必要があります。
上司に許可を得る必要はありません。
後々「なんで相談しなかったんだ」と言われたら「当てにならないから！」って言ってやってください。