入って6日目くらいの飲食店のアルバイトで私のミスでお客様からクレームをいただきその謝罪と代行代運賃をお客様から請求されました。 合計13.000円でした。

お店に謝ったのだから、それで大丈夫です。
社員の方の言うとおり、今後気をつければ良いです。
お金の話は、客と店で話し合う事で、主さんが支払うような事ではありません。
従業員に支払わせる行為は違法ですので、パートの方は返してもらっているはずです。
だから、主さんが申し出ても、受け取ったら違法なので、お店は受け取らないです。
こんなのおみせえにとっては珍しくない事なので、気にしない大丈夫。