今の多様性を認める世の中を考えるなら、例えば1＋1＝2ってのはおかしくないですか？ 3かもしれないし4かもしれない。もしかすると1+1＝豊臣秀吉かもしれないし

線型空間についてのお話しでしょうか？

集合自体は整数集合だけでなく、一部の整数と一部の記号を含む集合も定義できますし、一部の整数を除いた集合も定義できますので、整数にマクドナルドや豊臣秀吉を入れた集合を定義することは可能です。ただ、その集合が扱いやすいかは別問題です。扱いやすい集合ということで、一般的に実社会では整数集合や実数集合を扱い、加減乗除を定義しています。

詳細につきましては大学数学で群・環・体の話が出てきますので、そちらを読まれてから、また不明点ありましたら、ご確認頂けると嬉しいです。