娘が先月からアルバイトを始めました。 まだ覚える事が沢山あると思うのに、制服と一緒にメモ帳も洗濯してしまいました… 本人は口下手なので店長や先輩に相談しない

過保護すぎだと思います。
別にどうしても伝えなきゃいけないことでもないし、伝えたければ本人が言えばいいことです。
アルバイトしている本人が自分で判断することだと思います。

心配しなくても初バイトで採用1ヶ月の子にそこまで過剰に期待する職場なんてないですよ。
何より今までひと月一緒に働いてきてどんな人柄の子なのか、職場の人もよく理解しているでしょうし。
また、本人も1月も頑張っていたら、ある程度自分の頭で覚えているでしょうし、思い出しながらやって忘れていることはまた新しいメモに書いていけばいいだけのことです。

「目を付けられるかも」みたいに、対人関係について不安を煽るようなことは娘さんに言わないほうがいいですよ。
そもそも「目を付ける」なんて、世の中そんな悪意のある人ばかりではありませんし、娘さんが人間関係に変な偏見を持ってしまったら、その方が「メモをなくす」よりはるかに娘さん自身のダメージになると思います。

主さんは、何も言わないで、何もしないで、美味しいご飯を食べさせて、いつも通り送り出してあげればいいと思います。
何をどうするかは自分で判断することだし、口下手なら口下手なりに一人で生きていけるスキルを身につけないといけません。
親が先回りして障害を取り除くことは、我が子の成長のチャンスを奪っているだけですよ。
どんなに心配でも主さん自身が不安でも「優しい善意の毒親」になってはいけないと思いますよ。

失礼ですが、お子さんがそこまで（親が心配でたまらなくなるほど）口下手なのは、今まであなたが先回りしてお子さんが判断を下す余地を与えず口出ししてきたからではありませんか？