単身者用アパートに同棲できますか？

住民票は、彼が世帯主で登録していると思いますが、主さんも同住所で世帯主の住民登録が出来ます。
または【同居人】として登録出来ます。
どちらでも問題はありません。
彼が国民保険に加入しているのであれば、【同居人】として、保険証を共有して使用することが出来ますが、保険料に損、得はありません。
主さんが住所登録をしても、家主さんに知られることはありません。
郵便物は、主さんの表札が無くても住所さえ正しければ届きます。
(印鑑証明を作る際など、受け取り時に表札が必要な例外もあります)

ですが、独身者用のマンションとのことですよね。
賃貸契約書を見てください。
恐らく“契約者本人以外の入居は禁ずる”との内容が記載されていると思います。
バレたら強制的に解約されますから、出来るなら二人で堂々と幸せに暮らせるマンションを借りた方が良いと思います。