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数学の宿題！誰か助けてください… 自分で解いていたら途中から分からなくなりまし…
数学の宿題！誰か助けてください…
自分で解いていたら途中から分からなくなりました。
問1:２次方程式 x²-2√5x+3=0 の２つの解を、α・βとする。
このとき、次の値を求めよ。
① α+β
② αβ
③ β/α+α/β
④ α³+β³
問２:x=1+√7のとき、x⁴+2x³-12x²-26x-14の値を求めよ。
どなたか解説と一緒にどうやって解くのか解答も含め、教えてください！
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グッドアンサーに選ばれた回答
大文字小文字,半角全角ガバガバです、ごめんなさい
とりあえず①、②まで。
x²-2√5x+3=0
「２つの解をα、βとする」より、Ｘ＝αまたはβのときに上記の式が成り立ちます。
そして
Ｘ＝αのときに０になる、ということは→（Ｘーα）＝０
も成り立ちます。（Ｘにαを代入したら（αーα）＝０ですよね）
同様にＸ＝βのとき０になる、ということは（Ｘ－β）＝０
も成り立ちます
Ｘ＝αでもβでも０になる、ということは
（Ｘ－α）（Ｘ－β）＝0
が成り立ちます。（Ｘにα、βのどちらを代入しても式が成り立つと思います。）
（Ｘ－α）（Ｘ－β）＝0
の括弧を分解して
Ｘ^2ー（α＋β）Ｘ＋αβ＝0
にします。この式を２次方程式（x²-2√5x+3=0）とくっつけます
x²-2√5x+3=0
0=Ｘ^2ー（α＋β）Ｘ＋αβ
0で繋げて
x²-2√5x+3=0=x^2ー（α＋β）x＋αβ
となりました。左の式と右の式が等しいということは
α＋Ｂは2√5
αβは＋３
という事です。
③
ここまででα＋β、αβがわかっています。
問題のβ/α＋α/β＝？
をわかっているα＋β、αβで書き換えてみましょう。
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大文字小文字,半角全角ガバガバです、ごめんなさい
とりあえず①、②まで。
x²-2√5x+3=0
「２つの解をα、βとする」より、Ｘ＝αまたはβのときに上記の式が成り立ちます。
そして
Ｘ＝αのときに０になる、ということは→（Ｘーα）＝０
も成り立ちます。（Ｘにαを代入したら（αーα）＝０ですよね）
同様にＸ＝βのとき０になる、ということは（Ｘ－β）＝０
も成り立ちます
Ｘ＝αでもβでも０になる、ということは
（Ｘ－α）（Ｘ－β）＝0
が成り立ちます。（Ｘにα、βのどちらを代入しても式が成り立つと思います。）
（Ｘ－α）（Ｘ－β）＝0
の括弧を分解して
Ｘ^2ー（α＋β）Ｘ＋αβ＝0
にします。この式を２次方程式（x²-2√5x+3=0）とくっつけます
x²-2√5x+3=0
0=Ｘ^2ー（α＋β）Ｘ＋αβ
0で繋げて
x²-2√5x+3=0=x^2ー（α＋β）x＋αβ
となりました。左の式と右の式が等しいということは
α＋Ｂは2√5
αβは＋３
という事です。
③
ここまででα＋β、αβがわかっています。
問題のβ/α＋α/β＝？
をわかっているα＋β、αβで書き換えてみましょう。
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