採用になり、来週火曜に労働契約を交わす事になりそうなんですが、これまで面接した結果や勤務開始日がいつになるか等の連絡をこちらから問い合わせないと先に進まない感じ

前職でのご苦労はお気の毒に思えますが、中途採用で社員に病人が出ている状態では会社の対応にもやむを得ない部分があるような気がします。
主さんはなぜその会社に応募したのですか？その会社に勤めることで得られるメリットと、対応への不信感とを冷静に天秤にかけてみてください。
メリットを取るならば、会社に対する不信感は自分で払拭しましょう。
どうしても不信感が強いならば、他の就職先を探した方が主さんのためかも知れません。
会社にとって主さんはまだ社員ではありませんから、面接から採用までの間のモチベーションまでは面倒見切れないと思います。