友達が精神的に困ってるので病院を勧めたんですが、お母さんが行かせてくれないらしく私が行ってる病院に一緒に行こうと言ったところ、お金も出さないと言われたそうです。

あなたの診察時に他の人も一緒にといっても「無料」で診てもらうのは無理でしょうね。
その人の保険証・診察費は必要です。
保険証は無くても診察はしてもらえますが、この場合は保険適用にならないので10割負担になって診察費用も高くなります。

あなた方はまだ未成年の学生さん？
それとも社会人の方？

後者なら病院に掛かるのに親の判断はいらないね。
費用も自分の稼ぎから出せばいいだけだし。
前者ならやっぱ親の付き添いは必要かと思いますよ。
精神的に…という事はメンタルクリニックとか精神科とかでしょ？
風邪やら虫歯やらで病院受診するのとはわけが違うからね。