私には看護大学の4年生の子供がいます。 内定はもらっていますが、看護師の国家試験が2月で結果は3月の後半だそうです。 内定場所は県外のため引っ越しが必要です

見積もりは早いうちから貰えます。
候補日をいくつか挙げておいて、それぞれの料金の差も出して貰えると思います。(土日や平日の差など)
見積もりを貰うだけではキャンセル料などはかかりません。

実際に契約をするとなると確実な日付を決める必要があります。
キャンセル料については、引越しの何日前から発生、という形で各会社ごとにあると思いますのでそこは聞いてみる必要があると思います。