子どもがいじめっ子側なのですがどうしたらいいのでしょうか。なぜいけないのかなど話しても聞いてもらえず、その話を出してから親子仲も険悪になってしまっています。

何もお子さんと一緒になって花子ちゃんの悪口大会をしろと言っているのではありません。
花子ちゃんについての愚痴を聞いてあげてから、「いじめはダメ」と諭さないとお子さんの心は受け入れられないと思います。

主さん、人間ってそんなに強い生き物じゃないですよ。
お子さんも根っから悪い人間じゃないはずです。
頭ごなしに「いじめはダメなのよ」だけじゃなくて、どうしてそうなってしまったのか、お子さんの心を優しく温かく包んであげた上で、一緒に考えてあげるのが親の役割だと私は思います。

幼い頃からネガティブなことは言いたがらなかったのは、コミュニケーション不足だと思います。
ここまで主さんとやり取りして思うのは、主さんがとても結論（解決策）を急ぐ方だということです。
でもお子さん相手でそのペースは無理がありますよ。
「ダメなものはダメ」で心まで一刀両断してはいけないと思います。

花子ちゃんがジャイアンタイプなら間違いなく花子ちゃん本人にもかなり問題があるのでしょう。
大切なのは「いじめは良くない」のお題目ではなく、今後の人生でそういう苦手なタイプと出くわしたときにどう距離をとるか、どう接するかを学ぶことです。
一緒にお子さんと考えてあげられるのは親だけですよ。

付き合いきれない相手との距離の取り方とか、親が授けてあげられる知恵もあると思います。
悪いことは悪い、でも、どんな時もお子さんに寄り添って見方でいてあげるのが親の務めだと思います。