4月半ばに辞意を伝え、6月15日に新しい会社が決まってます。 その時は社長も承諾してくれましたが、引き継ぎの方がなかなか決まりません。2人でしてる会社なので、

このケースだと、会社(社長)はあなたの事を不当に見くびってると思います。
メールで返信している時点で不教養か、甘くみてます。
シングルマザーは大変ですよね…。その忙しさや人柄からあなたが波風立てることはないだろうと予想しあなたが何か行動を起こすわけがないだろうと、辞めるこちらのせいだと思わせようと やんわり脅し気味に好き勝手なことを要求しています。普段あなたをどう扱ってきたかがよくわかります。

そもそも4月半ばに辞意を伝えてるのに、会社が次を見つけられてないからとあなたが9月まで行く必要などどこにもありません。(ほぼないと思いますが、入社時にそのような特別な契約などに同意してない限り)

通常1ヶ月、替えがきかない事情をくんでも6月には後を引き継ぐ人がいようがいまいが、会社側の問題であってこっちが要望に応える義務などありませんよ。

世間に通用しないような扱いをしている証拠が文書であるので
然るべきところに相談すればどうにかなると思います。
あなたやお子さんの新たな生活、新しい職場の方が大事です！
出来るだけ早く相談してくださいね。