年金手帳と社会保険加入について！

20歳未満で就職した場合（第2号被保険者の場合）などは、事業主が年金事務所で厚生年金保険の被保険者資格取得手続きをするため、事業主を通して年金手帳が交付される
（wikiより転載）

ずいぶん前になってしまいますが、私は高卒で就職しました。
何もしなくても給与から厚生年金が引かれ、退職した後、会社から他の離職票などと一緒に手帳が書留で郵送されてきました。それまで自分の年金手帳を見たことがありませんでした。
退職後は自分で国民年金への切り替え手続きをしなくてはなりません（ただし20歳以上の場合）

社保が先か年金手帳が先かというのはその仕事についていなかったのでわかりかねますが、雇用契約を結んだ時点で会社は厚生年金の手続きに入っていますから、年金番号＝手帳はあります。
一ヶ月未満で退職した場合、その厚生年金がどのように処理するのかもわかりません。
ただ、20歳までは国民年金の支払い義務はありませんので、働いていない限り、年金を支払わなくても大丈夫ですから手帳は手元に保管します。
20歳になった時点で働いていない場合は役所からなにがしかの通知があると思います。
未成年のうちに他の会社に就職するならばその会社へ年金手帳を提出し新たな厚生年金に加入します。