20歳で、今までガラケーを愛用していたのですが、この間知り合いに、メールアドレスを聞いたところ「お前、何言ってるの？今どきアドレスを交換してメールする奴なんかお

ご両親にケータイ代を払ってもらっているということは、学生さんでしょうか？

とにかくスマホに変えたいだけ、というのでしたら楽天モバイルやUQモバイルなどの格安の会社のプランをご自分で調べて、ご両親を説得してみてはいかがでしょうか？
何もこだわらないのでしたら千円台、二千円台のプランもありますので、最悪それぐらいの金額ならば学生さんのバイト代でも払っていけるでしょうから、ご自分でケータイ代を払ってみてはどうでしょう。
スマホ本体も機種にこだわらなければ安く買えるものがあります。

LINEをしたいだけならば、ガラケーでもLINEはできたような気がします。（確かな情報でなくて申し訳ないのですが、過去に友人がガラケーでLINEをしていたと思うのです）