妻がお店の中でケープで授乳するのがどうしても嫌だ。女性は授乳はケープをしてたらどこでも平気ですか？？4ヶ月の子供がいて、妻と休日お出かけする際のこと

個人的には、ケープしてるなら気になりません。　
また、私本人は、何が悪い、当然のことだ、と思っている派です。

が、この場合、旦那さんが「僕が嫌だ、だから授乳室を使ってほしい」と言っているのに聞き入れないこと、の方に問題がある気がします。
　
なぜそんなに頑ななんでしょうね？
それか、うまく伝わっていないか。
　
主さん、「僕が嫌だ」の内訳というか…どんな気持ちになるから嫌だ、っていうところまで伝えてますか？
　
「君のおっぱいを他の人に見られたくない」「連想されるのも防げないから怖い」「僕だけが知っているところを公衆の面前に晒されている気分になって心配だしハラハラする」「お出かけが楽しめない」等々、「嫌だ」「恥ずかしい」以外の言葉で説明してみてはいかがでしょうか。