引っ越した後、住民票の移動の手続きをしなければ、転居先へ郵便物は届かないのですか？

まずは、関係先への転居届ですよね。自分に郵便を送りそうな友人・知人、金融機関や行政など、様々あるでしょうけれど、そこに転居したことを連絡しておけば、転居した住所に送ってくれるでしょう。
そういう連絡を漏らしたときのために、旧住所の郵便局に転送依頼を出しておくと一定期間は転送してくれます。
郵便会社は基本的には手紙に書かれた宛先に届けるだけであり、住民票などを調べて郵便受けに入れるわけではありません。