母親の介護期間について、どの程度の年数で区切りをつければ良いのか悩んでいます。 状況や人によっても様々だと思いますが、平均的な介護期間は3～5年だそうです。し

＞そのように理解できない、本人や周囲を説得するにはどうすればよいのでしょうか？

もうね、説得しようなんて思わない事です、割り切るしかない。理解しない周囲の身内達は、実際に介護に携わってないから大変さも分からず好き勝手な事を言えるんですよ。主介護者である主さんが限界を超えて施設を考えているのに、口だけで手を貸さない非協力な人達の意見に左右され振り回される事はありません。

近隣のグループホームで年金内で入れそうな所があったなら、見学や相談に行かれると良いです。グループホームに入れるお母さんの説得も不要ですよ。家族はどうしても説得→本人が納得してから、と考えがちでそういう順序を踏みたがりますが（お気持ちは分かります）、それが先ず無理な事なんです。
グループホームへは騙して入居させるのが殆どです。騙すためにケアマネも介護士もどんな役柄にもなり演技して協力してくれます。

ショートステイやデイサービスは、上手くいけば良いけど、あまりにも暴言や拒否が激しく続くと断られます。殺してしまいたい衝動に駆られる程に追い詰められているのですから、お母さんだけでも早めにグループホームで良いと思います。
ご両親ダブル介護はキツイですよね、主さんが倒れたら元も子もない。周囲の身内は助けてくれないのだから、最終的には主さんの独断で良いのです。それが結果的にはご両親の為にもなります、自身持って下さい。