子どもがいじめっ子側なのですがどうしたらいいのでしょうか。なぜいけないのかなど話しても聞いてもらえず、その話を出してから親子仲も険悪になってしまっています。

「部外者のくせに色々口出してきてうるさい」この言葉が気になりました。
自分が中学生の頃、不登校で時々来る子がいました。特に行事の時によく来る子でした。
例えば合唱祭、賞が取れず、それでもみんな頑張ったからうちらの中では優勝だよねなどと言い合っている時に、「賞がとりたかった。みんなが下手くそだから取れなかった」というようなことを言われたことがあります。練習に来てもいなかったお前がそれ言う？とみんなかなり苛立ちました。
例えばクラスメイトに心の病気でマスクが外せない子がいました。一時期からかわれたこともありましたが、みんなその子を受け入れられるようになってきた矢先、登校してきたその子が一言「マスク外せない子って将来引きこもりになるんだってさ」とても傷ついたと思うし、何も知らないくせに余計なこと言うなって思いました。
もちろん花子ちゃんが似たような感じかはわかりません。あくまでそんなこともあるよって話です。場合によっては我慢できないかも知れません。