部下のミスでもなく 全く関わっていない事 ただ、その日に出勤してただけという理由で 始末書書けと言われたのですが、 これは書かなければなりませんか？

一般的には問題が発生したら、その再発防止策を検討し対応するのは普通だと思いますが、それができないから、オーナーに説明するために、とりあえず始末書を書かせたと言う事実が欲しかっただけの様な気がします。
本来は書く必要はないと思いますが、あくまで対外的なものではないでしょうか。
あくまで形だけのものなら労働基準監督署に相談とか、パワハラとかには該当しないと思います。