同じ部署内の別グループに移動したいです。 当方既婚でパート勤務しています。 土日祝休みの条件で採用されました。が、今のグループは少人数でまわしているので

良いように使われてしまっていますね。
主さんもそれだけ上に訴えてるわけで、それでもダメってことならおそらく他へ移ることは無理だと思います。１人のパートさんのためにそこまで動いてくれるようなところではなさそうですし。
今の部署が無理なら他探した方が早いと思いますよ。
心の病を抱えてるならなおさらです。１度悪くなったら大変ですから。