洗濯で旦那と譲れない部分が違うのですが、どうすれば毎日タオルを洗わせてもらえますか？ 私はキッチン・洗面所・トイレの日陰水回りのフェイスタオルは雑菌が繁殖

一度使うとどんどん増殖しますから、毎日洗いたいですね。
お風呂上がりでも、汗や皮脂、垢で凄く汚れてます。
旦那さんが、タオルを変えるなと言いつつ自分だけ新しいタオルを使っているのは、嫌な感じがすることを分かっているけれど、質問者さんには使わせたい＝自分より下に見ていて、言うことを聞かせたい（支配したい）という、モラハラだと思います。
義母さんが毎日漂白して綺麗に保ってたのを知らず、何日使っても大丈夫だと勘違いしてるのかな？でも、それなら自分も使うはず…
確認もかねて義母さんに相談できるなら言っちゃいましょ。
それぞれこだわりがあるなら、いっそ洗濯別にして自分の物は自分で洗うのもいいのでは？私の周りには結構いますよ。