職場の教育係の方が苦手です。 ご自身の常識が社会の常識と思っていると感じます。 私が食い下がると、 「気を削ぐようなことを言うのが理解できない」

うーん、このケースの場合は、
「ミスがあったことを放置したこと」
を語気強めで責められたので、ご回答のそれとは異なると思います。
その伝え方について、「そういう言い方はないんじゃないですか」と言ったのが私の食い下がりですね。

ちゃんと主旨を説明したら納得してくれそうなものですが……。
「前任者のミスっていうのはわかっているけど」などの枕詞があると親切かもしれませんね。