今の職場の先輩男性(５０代)について。 私は中途で２年目なんですが、その先輩は今の職場に来る前では他で責任者してたり数々の現場で経験を積んできたようです。

就業規則に例え３ヶ月と書いてあっても、事情が事情なのでもっと早く辞めることができるはずです。
その折を相談してみてください。
因みに私の会社も３ヶ月と書いてありますが、だいたい１ヶ月で辞められますよ。
引き留められてももう無理ですと覚悟して伝えてしまえば、会社も強く出れないので大抵そんなものです。

もしくは、その部署に出勤することがツラいのであれば
辞めるまで引き継ぎだけ現在の部署で行い、別の部署にお手伝いに行く、そしてその間に就活を行わせてもらう、
というのも手です。
就活に関しては会社側も大っぴらにオッケーはできないのでそれとなく伝えてください。

辞めるまではいろいろと考えてしまいますが、いざ辞めると伝えてしまえばあっという間ですよ。
次の正社員の仕事が決まっていなくとも退職し、アルバイトやパートしながら就活する方もいます。

残った他の人のことや会社を思いやれるあなたは素敵な人だと思います。
しかし周囲のことより、すでに心が疲れてしまっているご自分のことを、もっと優しくしてあげてください。
労ってあげてください。

時には勢いも大切ですよ。
大丈夫！なんとかなるものです！

全てを理解できていないので的外れなことを長々書いているかもしれません。
それでも、いち早くあなたの心が楽になれるよう遠くから応援しております。