精神的な面で不調があり、精神科か心療内科にかかりたいと思っているのですが、やはり親に黙って行くのは難しいでしょうか？ 高校生のため自由にお金を使えるわけで

実費初診は2〜3万かかる可能性あり
薬は別途支払
初診は2、3ヶ月もしくはそれ以上予約が取れない可能性あり
初診は病院が決めた曜日と時間以外受け付けられないところあり、これは大体土曜ではなく平日のところが多い
初診時に診断がつかないことあり
そもそも診断をつけない方針のところもあり
薬処方ですぐ片付けるところもあり、精神科は大体そうなる
心療内科でも心理療法をカウンセリング以外取り入れてないところあり
カウンセリングは必ずしも楽になれる手段でもない

と、まぁ色々ありますが、お金は結構かかります。
初診時にする検査にもよりますが。

保護者同伴については予約時に問い合わせてみてください。
病院により方針も違うでしょう。

予約なしにすぐ診てくれるところは個人的にはおすすめしません。
それだけ人気がないところであったり、待ち時間が尋常じゃないってことなので。
あと、内科と違って相性が大事になる科なので最初のところが合わなければまた高いお金を払って渡り歩くことになります。