子供の戸籍扱いは？

養子縁組みすれば養子になるんじゃないですか？

なんにもしないなら父親でも養父でもなんでもないと思います。

認知届は出せないけど、婚姻届は出せるという矛盾がどうにも気になります。

実の親子でも法的になんにもやってないなら、遺産もいかないし。
もし、旦那さんに前妻との子がいるなら、後妻さんと前妻の子たちで財産分割になるんじゃないですか？
認知届出しておいたほうが、いいと思いますけど。