子どもがいじめっ子側なのですがどうしたらいいのでしょうか。なぜいけないのかなど話しても聞いてもらえず、その話を出してから親子仲も険悪になってしまっています。

追記
お子さんは、いじめの事実をあっさり認めたんですよね？
それは、
・今まで自分を救ってくれなかった主さんに対する当てつけ
・親として今の自分とどう向き合うのか、という主さんへの問いかけ
・いじめの事実を突きつければ、少しは自分（子供）の心の中を理解しようとしてくれるのではないかという期待
じゃないかと思います。

「虐め→反省を促す」ではなく、主さん自身、親としてこれまで自分がどうだったかまず反省すべきだと思います。
もう少し我が子に温かみのある対応はできなかったのか、反省なさった方がいいと思います。
相談文に書いているあなたのお子さんに対する仕打ちは、残酷ですよ。
お子さんが幼かった頃から現在に至るまでの仕打ちが、です。