相手が認知してくれそうにないです😢

確か裁判前に調停する制度だったはずなので、まずは調停です。

調停なら印紙・切手・証明書代(５千円前後)くらい。手続き上必要な証明書は家裁で説明受けましたよね？

相手方に連絡はいいでしょう。責任を逃れるような人なら下手に連絡したら逃げるでしょ。嫌でも裁判所から連絡行きますからご心配なく。
ただ出頭に応じるかどうかは分かりませんが、個人的な連絡より裁判所からの連絡は重みがあります。

相手の人に定職はありますか？養育費は認知後、相手方に定収入があれば請求可能です！ただ養育費額は所得により変わります。