先日、ピーラーで左手を切ってしまい、2㎝×1㎝くらいの傷が出来てしまいました。病院からは完全に削いでしまったので縫える傷ではないこと、消毒とガーゼで押さえてテー

開業医の皮膚科（できたら形成外科併設）か外科はご近所にありませんか？
病院だと診察時間や受付時間が早く終わるので、仕事しながらではなかなか大変でしょうが、開業医なら案外遅くまで受付時間ありますよ。
その上で通院について聞いてみてはどうでしょうか。
現在も一般開業医に通っているなら、他の皮膚科か外科を一度行ってみてはどうでしょうか。
ちなみに形成外科とは、火傷や主のような皮膚の怪我を治す科です。美容整形外科とは違います。外科は内臓等を切ったりするのを得意としてますが、切ったものを縫ったりするスキルはあるので、相談しても大丈夫です。
また整形外科はどちらかと言えば、骨や筋肉の怪我を得意としている科です。

かぶれは、処置の時に聞いてみるしかありません。私も包帯やテープでかぶれやすく、ステロイドの軟骨を処方してもらい、それを塗りながらテープを肌に優しいものに変えました。
ちなみにネクスケアのキズあと保護＆肌に優しいってテープが薬局にあって、これは私が長く貼っていてもかぶれません。

シャンプーは他の方がおっしゃるように、ブラシを使ってください。
怪我してどの程度経過しているかわかりませんが、普通に縫った傷だとしても縫い方等によっては２週間くらいは濡らさないようにって言われる事もありますし。
そこは我慢するしかないですよ。