児童扶養手当

ん？
あなたが出産したからといって、あなたかわ無職または扶養範囲内の稼ぎなら、お父様からの扶養を抜ける必要はありませんよ。
扶養者でいる為には…
税金の扶養は103万円まで。
健康保険の扶養は年間130万円まで(月の総収入が108333円を継続的に超えると、年間130万円に抑えても扶養外れなきゃならない事もあり)
またはお父様の収入の1/2以内。
上記を超えた収入があれば、扶養ははずれなくてはなりません。
お父様が国保であれば、国保には扶養という考え方はありません。

児童扶養手当ですが、お住まいの地域によって違いはありますが、同居されている方々の中で1番収入の高い方の額で計算されるようです。
世帯分離をすれば大丈夫な所もあれば、同一住所でも完全な二世帯住宅(公共の支払いが全て受給者本人名義である事)じゃないとNGという所もあります。