事務のパートを解雇になりました。 遅刻早退が多いとの理由でパートを解雇になりました。遅刻早退するときは必ず責任者に連絡を入れ、従業員にも必ずお礼を言ってお詫び

＞しかし部長からは遅刻早退が多いからとは言われましたが

↑コレ、つまり〝注意警告は受けてた”という事では。
「遅刻早退が多い（＝勤務に支障が出てる）」という事で、コレ指摘で注意警告です。
主さんも遅刻早退した度におそらく〝申し訳ありません。ご迷惑をかけてすみません。”と言っておられたかと思います。

つまり…今まで注意をなんども受けてると思います。お菓子で人の心の穴埋めは出来ても心象は改善しますが遅刻早退の実績も事実も消えません。

再三の注意警告に自ら改善しないのであれば解雇も妥当で〝今月いっぱいで”と猶予も与えられてるので不当解雇にはあたりませんし労基に相談してもどうしようもないと思います。
納得する為に労基に相談しても話は聞いてくれますが恐らく動かないし動いても電話するだけで会社から正当な解雇にあたると返答されて終わりになる。
扱いは本来は社員とパートに差をつけてはいけませんが、やはり社員とパートバイトには歴然たる差がある。
せめて社員であればあれこれ言って戦えますがパートだと今回の様な件で解雇撤回や賠償とかは難しいと思いますよ。ってかほぼ無理。人事の人や決裁者が話を聞いてくれればいいでしょうが…

「部長（＝上司）から”はっきりとした判り易い注意警告”は受けてない」というのが主さんの主張なのであいまいな言い方される人っていますよね。なので恐らくそういう部分で納得しきれず、もしかすれば相手（人事や決裁者）が話を聞いてくれるかもしれませんので。

ちなみに主さんの事を常識がないとか無責任とかひどい事言ってる人はいますが私はそうは思わないです。
誰だって事情が生まれればそうしますし、迷惑かけたら迷惑に対して申し訳なかったと気を遣ってお菓子を持って来たりして何かする。
ただ、現場では〝いいよ”とかキレいな事を言ってても現場と管理者側、現場と管理者と主さんの間でコミュニケーションがうまく取れてないとこういう事はわりと起こりがち。

社員さんなら裁判とかしてもいいけどね、何十年も仕事続くのだし。
でもパートさんとかなら争うとか裁判とかするだけ手間労力と時間の損だったりします。
勘違いされてる方も多いですが労基も〝仕事関係の警察”でもないですので。

ただ職場の上長と話すだけ話してみるのがいいと思います。
お孫さんや家庭の事情って大変ですよね。
心中お察しします。