母子家庭です。DVによる避難→離婚です。（母、小学生1人）パートしながら生活保護受けています。（パート代／月15~7万）なんとかやれそうなので抜けたいです。

今生活保護がもらえて生活ができてるなら、無理する必要はないと思います。
貰える間はもらって、子供との時間も大切にしてあげてください。
親はあなた一人です。あなたに何かあったらお子さんどうなりますか？
無理はしたらダメです。
頼れるものは頼りましょう。

親権はどのみち二十歳までの事なので、そのままでもいいのでは？

学校は高校3年生ですかね？

転入に親権者のサインとかがいるからですかね？
高校に事情を話してみるのは？

役所は親戚がいると取れないものですか？
役所の人間なのに旦那に教える危険があるのですか？それはその親戚はクビになる事案ですが…

お子さんが自分の名前で申請して戸籍謄本とったらどうですか？
そしたらあなたの身分証を出す必要はないかと思いますが。