20代なのに父親の面倒を見続けなくてはいけないのでしょうか？ 26歳独身の会社員なのですが、 最近父親が大きな病気をして、 体が不自由になりました

ケアマネジャーに相談することですね。
介護保険費用を両親の年齢なら払ってます。
こういう時の為です。

介護認定をしてもらって、必要な支援を受けるのが良いです。
介護保険でデーサービスやショートステイを利用すれば、お母さんひとりでもやっていけると思います。

主さんは、そのケアマネジャーを用意したり、ケアプランの作成までいて、
そのあとは、いてもいなくても、もう任せてしまえるので、主さんも安心して出て行けると思います。
ネットで地域のケアマネジャーを探すか、福祉課に聞けば複数の事業所を教えてもらえます。