病院を途中で変えるのっていけないことですか？ 今まで気にしてませんでした。 今回子どもの通院で、何回か通ってみたけどなかなか症状が改善されず悩み、違うところ

紹介状無しで行くと、非常識と思われるのは、もはや常識かもしれないですね。
踏むべき手順を踏まずに来るわけですから。

それまでの経過などが分からない状態で、どんな治療をしてきたのか分からない状態（基本、素人の患者の言うことは、信用しません）で治療途中のものを診なければいけないのも、かなりリスキーでハードルが高いので、それで医療者は嫌がるのです。

＞迷惑な患者だと思われちゃってたら

当たり前に思われます。
それが嫌なら、紹介状を書いてもらい、決められた手順を踏むことです。