子供を施設に…

色々言って色々言われてますが、その前に養護施設に預けることは主さんの理由からでは許可出来ないかと思われます。
命の危険や緊急の対応でも空きがないのが現状です。
他は調べ考えましたか？
上の子は大きいので、一部対象にならないかと思われますが、児相や福祉課 子供課 課の名前は違いますが少なからずサポートする制度があるはずです。登録している一般家庭が22時まで預かるとか、学童や 一時里親 ママさん保育 色々ありますから調べて聞いてみて下さい。
その時に相談するでしょうから市役所の方からも色々提案してもらえますよ。