私の父親が二週間前になくなった。 病名は心筋梗塞です。私は54です。一度も結婚したこともなく、ずっと独身でした。 もう10年前から、親元を離れて一人暮らしを

お父さんが仰っていたのは、お兄さんの遺産の件でしょうか、それともお父さんが亡くなった場合の相続税の事でしょうか？
もしお兄さんの遺産の件なら、それは相続した兄嫁さんが支払うべきでしょう。
相続税を支払う義務があるのは、1さんの仰る通り遺産を相続した人ですから。

そうではなくお父さんが亡くなった場合の、つまり今回の遺産相続の相続税のことであれば、それなら兄嫁さんは無関係ですね。
兄嫁さんには、相続権はありません。
あるのは、お兄さんと兄嫁さんの子供二人。
甥御さんと姪御さんには、代襲相続人として相続権があります。
そして、相続税を支払うのは相続した人です。

兄嫁を住ませてやったと仰いますが、兄嫁さんが婚姻関係終了届を出していなければ、お兄さんが亡くなっても兄嫁さんの立場は変わりません。
兄嫁さんは、依然として家族です。
「住ませてやった」という考え方は、おかしいのではと思います。
家から出て行ってもらうことができるかどうかは分かりませんが、そのような考えの家には居たくないと思われ、ご自分から出ていかれるかもしれません。