初めて相談致します。よろしくお願いします。 現在、私たち長男夫婦と義父母は、義父名義の同じ敷地内に義父の仕事を継ぐ形で私たち長男夫婦と家計を同じくし、私道を挟

名義などは色々とややこしいですが、簡潔に言えば運転に不慣れな義妹さんが主さん宅のワンちゃんを轢いた（巻き込みかけた？）ってことですよね。
ワンちゃん大丈夫でしたか？無事だと良いのですが。

それほど汚い言葉で罵ってないなら謝らなくていいですよ。家族を轢かれたと思えば怒りや不安、焦り、混乱などで語気が強くなるのは当然のこと。向こうが論点をズラしているというか、難癖をつけてきている状態です。

姪ちゃんにとっては確かにショックな光景だったかもしれませんが、「わざとではないとはいえ、ママがしでかしたのはそれぐらいの事だったんだ」ということを知る、ある種の学びにもなったと思います。（でも学びだとかは義妹ご夫婦には伝えないでくださいね。さらに刺激してしまいそうなので。）

ひとまず今は冷戦状態で様子見しといても良いんじゃないでしょうか。
そのうちお互い気持ちが落ち着いて冷静に話し合えるようになるかもしれませんし、あまりにも険悪なムードが長引けば周りの人たち（義父母さんとか）が仲裁などに入ってくれるかもしれませんからね。

どうしても自分にも非があるのではないかと気になるようなら、隙を見て姪ちゃんだけに話しかけて「おばさんがママに怒鳴りつけたの見て驚いたよね。あの時は犬が轢かれたっていうショックで気が動転してたし、どうしても許せなくて声が大きくなっちゃったの。ビックリさせてごめんね。」と伝えてみてはどうでしょうか。