統合失調症の人は正社員になれないんですか？

法律的には、(業務に関係ある場合を除いて)病気の有無や障害の有無を面接で聞いてはいけないはずです。
なので正社員になろうとすればなる事は出来ます。
ただその場合、病気について配慮はしてもらえません。
また、無理に正社員になっても続けられないと思います。
配慮が必要な場合、精神障害者手帳を取って、障害者雇用枠を狙うのが良いかと思います。