Googleの同期・履歴削除をしたいです。 新しいAndroidスマホを買ってアプリゲームを始めた時に自分のGoogleアカウントがなく、そのとき彼氏がそ

今はあなた自身のGoogleアカウントでインターネットを使用してるんですね？
ならそもそも彼氏さんのアカウントと別なので履歴が混同することはありません。GoogleChromeの履歴の同期というのはひとつのアカウントでのみ複数の端末で履歴を共有できるサービスです。
あなたが彼氏さんのアカウントの自分の履歴をちまちま手動で削除することは不可能ではないですが、履歴を一気に削除すれば彼氏さんの履歴も消えます。
ちなみに彼氏さんとPCが共有されてるんですか？
PCでGoogle使ってインターネットするときに彼氏さんのアカウントで常時ログインされてる場合、あなたが使えば彼氏さんのアカウントに履歴が残ります。
あなたのアカウントでログインしなおせばあなたのアカウント上で履歴が残ります。ただし使い終わったらログオフしないと次にあなた以外の人が使ったときあなたのアカウントは丸見えです。PCシャットダウンしたらログオフされる設定ならまだしも。
いいですか、同期しようとしまいとログインした状態(同一アカウント上)で他の人と同じ端末使えば履歴丸見えということです。