54歳です。 現在パート勤めをしてますが、6月初に閉店が決まりました。 この場所で働いて6月までの期間は半年も経たないので失業保険はあたりません。 震災の

現在の職場で半年たっていなくても、その前に働いていた職場で雇用保険加入していれば合算できる(再就職までの期間に定めはある)と思います。
私なら5月半ばも最後までも大差無いと思うので、最後まで勤めますが…
ただ、おそらく主さんは今すぐにでも辞めたいというくらいお辛い状況なのだと思います。だからこそこちらに投稿したのですよね？それなら我慢せずに辞めても良いと思います。しかし、最後まで頑張れば退職理由は自己都合ではなく、会社都合になると思うので、雇用保険の申請にせよ、就活にせよ、大きく違ってくると思いますよ。