お隣さんに、2泊3日の入院の間子供を預かって欲しいと頼まれました。 うちの娘と同級生の4歳男の子です。 以前から問題行動？があり、娘も私も苦手な子で、、

持ち家で、今後も引っ越せないからこそ、無用なトラブルや責任問題回避の為に、断りましょう。
わざわざ理由を付けなくて良いですよ。「誠に申し訳ありませんが、うちでお預かりは出来ません。」だけで十分です。
百歩譲って、昼間だけならまだしも、泊まりなんて、しかも４歳児、絶対に無理です。そもそも、問題のありそうな感じですし。
そして、他の方も仰っていますが、一度預かったら、次に何かあった時、またアテにされますよ。