昨日、ご飯の後に彼に「皿洗いよろしくね」というと「えー」としぶられました。 夕飯で、ご飯も使い切ってしまったので「ご飯も炊かないとね」というと「俺が皿洗いする

正直、どっちの言い分も何となく理解出来ます。
どっちも言葉足らずなのに余計な一言を言う印象で、どちらが悪いのかと聞かれたらどちらも悪いと答えます。
「米を炊くのは任せた」と彼が言った時に、何故イエス・ノーを答えなかったのか、そこが分りません。その時に「お皿洗うついでにやってほしい」とか「私はこれをやるからあなたにお米を頼みたい」とか伝えたら、すれ違いはそもそも起きなかったような。
それに関しては、彼も答えがないのに勝手に解釈したのも悪いですけどね。

読んでる感じだと、わざわざ揉める原因をお互いに作ってるみたい。

ここからは余計なお世話かもしれませんが
お互いイライラするのなら、例えばお米は決まった日に纏めて炊いて冷凍したものを使うとか、食洗機も小さいものがあるからそれを購入するとか…
知人は、夫婦共に多忙だから＆お皿洗いが面倒だからと家での食事は全て紙皿割箸で使い捨てにしてました。別の同棲カップルは毎週家事代行業者を頼んでいます（2時間で五千円でお釣りが来る程度）。そういうやり方も有りなのかもしれません。
そうやって「どうしたらお互い辛くないか、楽になるか」を考えた方が後々楽になりそう。